Matematik tarihinin uzun gelişim çizgisine, insan zihninin bilişsel evrimine ve bilimlerin ortaya çıkış süreçlerine birlikte bakıldığında ortak bir yapı görülmektedir. Gerçeklik önce gözlemlenmekte, daha sonra geometrik ilişkiler hâlinde kavranmakta, ardından ölçülmekte, sayılar aracılığıyla ifade edilmekte ve sonunda genel kurallara dönüştürülmektedir. İnsanlığın bilgi üretme tarihi de bireyin öğrenme süreci de bu doğrultuda ilerlemektedir. Buna rağmen modern eğitim sistemlerinin önemli bir bölümü bu sıralamayı tersine çevirmiş görünmektedir.

Öğrenci çoğu zaman gerçeklikle değil, sembollerle karşılaşmaktadır. Geometrik kavrayış oluşmadan aritmetik öğretilmekte, aritmetik ilişkiler anlaşılmadan cebirsel semboller kullanılmakta, matematiksel yapılar kavranmadan fiziksel formüller ezberlenmektedir. Sonuçta matematiksel bilgi ile matematiksel kavrayış arasında giderek büyüyen bir mesafe ortaya çıkmaktadır.

Bu durumun tarihsel kökenleri sanayi çağının eğitim ihtiyaçlarına kadar uzanmaktadır. Modern devletler kitlesel eğitim sistemleri kurmaya başladıklarında büyük öğrenci gruplarına belirli bilgi ve becerilerin kısa sürede aktarılması temel amaçlardan biri hâline gelmiştir. Matematik öğretimi de bu dönüşümden etkilenmiştir. Hesaplama becerileri ekonomik ve teknik hayat açısından önem taşıdığı için eğitim süreçlerinde işlem hızı ön plana çıkmıştır. Zaman içinde matematiğin temsil ettiği zihinsel süreçlerden çok, ortaya çıkan sonuçlar önem kazanmaya başlamıştır. Böylece matematik, dünyayı anlamanın dili olmaktan ziyade belirli problemleri çözmenin aracı gibi algılanır hâle gelmiştir.

Bu dönüşüm başlangıçta pratik yararlar üretmiş görünmektedir. Daha fazla insan temel hesaplama becerisi kazanmış, ticaret ve mühendislik alanlarında ihtiyaç duyulan teknik yeterlilikler yaygınlaşmıştır. Fakat uzun vadede başka bir sorun ortaya çıkmıştır. Matematiksel semboller ile onların temsil ettiği gerçeklik arasındaki bağ giderek zayıflamıştır. Öğrenci işlem yapabilmekte, fakat işlemin anlamını açıklamakta zorlanmaktadır. Formülü kullanabilmekte, fakat formülün hangi düşünsel sürecin ürünü olduğunu bilememektedir. Matematiksel bilgi zihinde parçalı ve dağınık yapılar hâlinde birikmektedir.

Bu kopuşun en belirgin örneklerinden biri sayı kavramında görülmektedir. Birinci sınıfa başlayan bir öğrenci çoğu zaman rakamlarla tanıştırılmaktadır. Bir, iki, üç ve diğer sayılar belirli semboller olarak öğretilmektedir. Daha sonra bu sembollerle çeşitli işlemler yapılmaktadır. Fakat sayıların hangi zihinsel ihtiyaçtan doğduğu, hangi ilişkileri temsil ettiği ve neden var olduğu soruları genellikle eğitim sürecinin dışında kalmaktadır. Böylece öğrenci için sayı başlangıçtan itibaren verilmiş ve hazır bir nesne hâline gelmektedir. Oysa matematik tarihine bakıldığında sayı uzun bir kavrayış sürecinin sonunda ortaya çıkmaktadır.

Benzer bir durum geometri alanında da görülmektedir. Geometri çoğu zaman matematiğin belirli bir alt başlığı olarak öğretilmektedir. Noktalar, doğrular, açılar ve çokgenler belirli kurallar çerçevesinde incelenmektedir. Buna karşılık geometrinin insan zihninin dünyayı kavrama biçimi olduğu gerçeği çoğu zaman görünmez kalmaktadır. Öğrenci üçgeni bir şekil olarak öğrenmektedir; fakat üçgenin insanlık tarihindeki ilk mühendislik problemlerinden biriyle, arazi ölçümleriyle veya mimari denge arayışlarıyla ilişkisini kuramamaktadır. Böylece geometri gerçeklikten kopuk bir çizim faaliyetine dönüşmektedir.

Bu kopuşun sonuçları özellikle cebir eğitiminde daha belirgin hâle gelmektedir. Öğrenci belirli yaşa geldiğinde karşısına harfler çıkmaktadır. x, y ve z gibi semboller matematiksel işlemlerin içine girmektedir. O ana kadar sayılarla çalışan öğrenci için bu durum çoğu zaman anlaşılması güç bir değişim olarak görünmektedir. Çünkü cebirin ortaya çıkış mantığı yeterince kavranmamıştır. Cebir belirli sayıların yerini alan gizemli işaretler gibi algılanmaktadır. Oysa tarihsel olarak bakıldığında cebir sayıların ötesindeki ilişkileri görünür hâle getirmek amacıyla geliştirilmiştir. Cebir sayıların alternatifi değil, sayıların genelleştirilmiş biçimidir. Bu bağ kurulamadığında öğrenci sembollerle mücadele etmeye başlamaktadır.

Matematik eğitiminin karşı karşıya bulunduğu temel krizlerden biri tam olarak budur. Öğrenci matematiksel sembollerle erken karşılaşmakta, fakat bu sembollerin dayandığı kavrayış zemini yeterince oluşmamaktadır. Böylece öğrenme süreci büyük ölçüde ezbere dayanmaktadır. Ezber burada küçümseyici anlamda kullanılmamaktadır. İnsan zihni her öğrenme sürecinde belirli ölçüde ezberden yararlanmaktadır. Problem, ezberin kavrayışın yerine geçmesidir. Bir öğrenci çarpım tablosunu ezberleyebilir. Bu son derece doğal bir durumdur. Fakat çarpmanın neyi temsil ettiğini anlamıyorsa ezber zihinsel gelişime dönüşememektedir.

Bu durum uluslararası eğitim araştırmalarında da dikkat çekmektedir. Matematik başarısı yüksek görünen birçok öğrenci günlük hayattaki problemleri matematiksel olarak modellemekte zorlanmaktadır. Bunun nedeni işlem eksikliği değildir. Sorun, matematiksel yapıların gerçeklik içindeki karşılıklarının yeterince görünür olmamasıdır. Öğrenci sınıfta öğrendiği bilgiyi okul dışındaki dünyaya taşıyamamaktadır. Çünkü öğrenilen şeyler gerçeklikten bağımsız semboller olarak zihinde yer almaktadır.

Bu noktada eğitim psikolojisinin ortaya koyduğu bulgular önem kazanmaktadır. Jerome Bruner’in temsil kuramı öğrenmenin eylemsel, imgesel ve sembolik aşamalardan geçtiğini göstermektedir. ¹ İnsan önce deneyimlemekte, sonra zihinsel görüntüler geliştirmekte ve son olarak semboller oluşturmaktadır. Modern matematik öğretimi ise çoğu zaman doğrudan sembolik aşamadan başlamaktadır. Böylece zihinsel gelişimin doğal akışı kesintiye uğramaktadır.

Jean Piaget’nin çalışmaları da benzer sonuçlara işaret etmektedir. Piaget’ye göre soyut düşünce belirli bilişsel aşamaların ardından ortaya çıkmaktadır. ² İnsan zihni somut ilişkileri kavramadan soyut yapılar üzerinde etkili biçimde çalışamamaktadır. Matematik eğitimi bu gerçeği göz ardı ettiğinde öğrenme güçlükleri kaçınılmaz hâle gelmektedir.

Bu noktada önemli bir soru ortaya çıkmaktadır: Eğer matematiksel kavrayışın doğal sırası gerçek cisimden geometriye, geometriden aritmetiğe ve aritmetikten cebire doğru ilerliyorsa, eğitim sistemi neden çoğu zaman bunun tersini yapmaktadır? Bunun önemli nedenlerinden biri ölçme ve değerlendirme sistemleridir.

İşlem yapmak ölçülmesi kolay bir beceridir. Doğru cevap hızlı biçimde belirlenebilir. Buna karşılık geometrik kavrayışın derinliği, zihinsel temsil gücü veya ilişkiler arasındaki bağları kurabilme kapasitesi çok daha karmaşık ölçüm yöntemleri gerektirmektedir. Eğitim sistemleri zamanla ölçülmesi kolay olanı merkeze yerleştirmiştir. Sonuçta semboller, kavrayışın önüne geçmiştir.

Bu durum matematiksel düşüncenin yapısını da etkilemektedir. Öğrenci formülleri başlangıç noktası olarak görmektedir. Oysa formüller tarihsel olarak sürecin sonunda ortaya çıkmıştır. Bir formül yüzlerce yıllık gözlem, deneyim, ölçüm ve soyutlama faaliyetinin sonucudur. Eğitim süreçlerinde ise formül çoğu zaman ilk karşılaşılan unsur hâline gelmektedir. Böylece insan zihni sonuca ulaşmakta, fakat sonucun nasıl ortaya çıktığını görememektedir.

Matematiksel öğrenmenin yeniden düşünülmesi bu nedenle yalnızca müfredat meselesi değildir. Daha derin bir epistemolojik dönüşüm gerekmektedir. Matematiğin ne olduğu sorusu yeniden sorulmalıdır. Eğer matematik gerçekliği anlamanın diliyse, öğrenme sürecinin de gerçeklikten başlaması gerekir. Eğer geometri insan zihninin dünyayı örgütleme biçimiyse, matematik eğitiminin merkezinde geometrik tasavvur yer almalıdır. Eğer sayılar ölçülen ilişkilerin sembolleriyse, sayıların anlamı bu ilişkiler içinde kurulmalıdır.

Modern matematik eğitiminin temel krizi sembolün gerçekliğin önüne geçmesidir. İnsan zihni önce sonucu görmekte, daha sonra sonucun hangi süreçlerden doğduğunu öğrenmeye çalışmaktadır. Oysa tarihsel gelişim de bilişsel gelişim de ters yönde ilerlemektedir. İnsan önce dünyayı görür. Sonra dünyadaki düzenleri fark eder. Daha sonra bu düzenleri ölçer. Ölçülen ilişkileri sembollerle ifade eder. Matematiksel kavrayışın doğal yolu budur.

Bu nedenle matematik eğitiminde ihtiyaç duyulan şey yeni formüller veya daha fazla konu değildir. İhtiyaç duyulan şey, sembol ile gerçeklik arasındaki kopmuş bağın yeniden kurulmasıdır. Matematiksel düşünce ancak bu bağ yeniden görünür hâle geldiğinde kendi doğal bütünlüğüne kavuşabilir. Çünkü matematik en temelde rakamların değil, ilişkilerin bilimidir; ilişkiler ise her zaman gerçekliğin içinde başlamaktadır.

(Devam edecek…)

^{¹ Jerome S. Bruner, The Process of Education, Cambridge: Harvard University Press, 1960, s. 44.
² Jean Piaget, The Psychology of Intelligence, London: Routledge, 1950, s. 133.}

*Bu içerik serbest gazeteci veya konuk yazarlar tarafından hazırlanmıştır. Bu içerikte yer alan görüş ve ifadeler yazara aittir ve Independent Türkçe'nin editöryal politikasını yansıtmayabilir.