Matematik üzerine düşünmeye başlayan hemen herkesin karşılaştığı ilk sorulardan biri sayının ne olduğudur. Bu soru ilk bakışta son derece basit görünür. Günlük hayat boyunca sayılarla karşılaşan bir insan için sayı, üzerinde ayrıca düşünmeye gerek duyulmayan kadar tanıdık bir kavramdır. İnsan alışveriş yaparken sayıları kullanır, yaşını sayılarla ifade eder, zamanı sayılarla ölçer, evinin numarasını bilir, telefon numaralarını ezberler ve mesafeleri sayılar aracılığıyla tarif eder.

Sayı gündelik hayatın o kadar içine yerleşmiştir ki çoğu zaman onun ne olduğu değil, nasıl kullanıldığı konuşulur. Oysa matematiğin temellerine doğru inilince sayı kavramının göründüğünden çok daha karmaşık olduğu anlaşılır.

Çünkü sayı herhangi bir nesne gibi varlık göstermez. Bir taşı göstermek mümkündür. Bir ağacı, bir evi veya bir insanı göstermek de mümkündür. Buna karşılık "3" sayısını göstermek kolay değildir. 3 elma gösterilebilir, 3 taş gösterilebilir, 3 insan gösterilebilir; fakat bunların hiçbirisi 3 sayısının kendisi değildir. Sayı ile nesne arasındaki bu ilişki matematik felsefesinin en eski meselelerinden birini oluşturmaktadır.

İnsan zihni dünyayı algılarken başlangıçta sayılarla karşılaşmaz. Karşılaşılan şeyler nesneler, hareketler, biçimler ve ilişkilerdir. Çocuk gelişimi üzerine yapılan araştırmaların önemli bir bölümü, bebeklerin belirli nicelik farklılıklarını sezebilseler bile sayıyı soyut bir kavram olarak kavramadıklarını göstermektedir.

Çocuk önce annesini tanır, sonra çevresindeki nesneleri ayırt eder, daha sonra nesneler arasındaki benzerlik ve farklılıkları fark etmeye başlar. Bu süreç boyunca zihnin temel faaliyeti saymak değil, ilişki kurmaktır. Sayı bu ilişkilerin belirli bir aşamasında ortaya çıkan daha ileri bir zihinsel örgütlenmenin ürünüdür. Jean Piaget’nin çalışmalarında özellikle vurguladığı noktalardan biri budur. Piaget’ye göre sayı kavramı nesnelerin tek tek algılanmasından doğmaz; sıralama ve sınıflandırma faaliyetlerinin birleşmesinden ortaya çıkar. ¹

Bu tespit son derece önemlidir. Çünkü matematik eğitiminin büyük bölümü sayıların hazır ve verilmiş kavramlar olduğu varsayımıyla başlamaktadır. Çocuklara 1, 2, 3 ve 4 öğretilmekte; ardından bu sayıların çeşitli işlemlerde nasıl kullanılacağı gösterilmektedir. Oysa zihinsel gelişim sürecinde sayıların ortaya çıkışı bundan farklıdır. Çocuk önce nesneleri gruplayabilmeyi öğrenmektedir.

Benzer nesneleri bir araya getirebilmekte, farklı nesneleri ayırabilmekte, ardından belirli bir düzen içinde sıralayabilmektedir. Sayı kavramı bu ilişkiler ağının içinden doğmaktadır. Bu nedenle sayı insan zihnine dışarıdan yerleştirilmiş bir bilgi olmaktan çok, zihnin kurduğu ilişkilerin sonucunda oluşan bir kavrayıştır.

Sayı kavramının ortaya çıkışını anlamak için yeniden gerçek cisimlerden başlamak gerekir. Bir çocuğun önüne 3 elma konulduğunu düşünelim. Çocuk başlangıçta elmaların sayısıyla ilgilenmez. Elmaların rengi, büyüklüğü, kokusu ve biçimi dikkatini çeker. Bir süre sonra elmalar arasında ortak özellikler bulunduğunu fark etmeye başlar. Aynı süreç taşlar veya oyuncaklar için de geçerlidir.

Daha sonra farklı nesne grupları arasında ortak bir yapı bulunduğunu keşfeder. 3 elma ile 3 taş arasında fiziksel hiçbir benzerlik yoktur. Birisi canlı organizmanın ürünü olan bir meyvedir, diğeri mineral kökenli bir nesnedir. Buna rağmen insan zihni bu 2 grup arasında ortak bir ilişki kurabilmektedir. Bu ilişkinin adı üçlüktür. Sayının ortaya çıktığı yer tam da burasıdır. Sayı nesnenin içinde bulunan bir özellik değildir; nesneler arasındaki ortak ilişkinin zihinsel ifadesidir.

Aristoteles sayı kavramını tartışırken bu noktaya dikkat çekmektedir. Ona göre sayı nesnelerden tamamen bağımsız bir varlık olarak düşünülemez. Sayı, çoklukların belirli bir biçimde kavranmasının sonucudur. ² Aristoteles’in bu yaklaşımı daha sonraki yüzyıllarda farklı yorumlara konu olmuş olsa da sayı ile gerçeklik arasındaki ilişkinin anlaşılmasında önemli bir çerçeve sunmaktadır. İnsan zihni önce çokluğu görmektedir. Sayı ise bu çokluğun düzenlenmiş ifadesi olarak ortaya çıkmaktadır.

Pisagorcu gelenek meseleye daha farklı bir açıdan yaklaşmıştır. Pisagorcular için sayı yalnızca nesneleri saymaya yarayan bir araç değildir. Onlara göre evrenin temel yapısı sayısal oranlar üzerine kuruludur. Müzikteki uyum, geometrik şekillerdeki düzen ve gök cisimlerinin hareketleri belirli sayısal ilişkiler taşımaktadır.

Aristoteles, Pisagorcuların bu yaklaşımını aktarırken onların sayıları varlığın ilkeleri olarak gördüklerini belirtmektedir. ³ Bu görüş zaman zaman aşırı metafizik bir yorum gibi değerlendirilmiştir. Fakat burada dikkat çekici olan nokta, sayı ile düzen arasındaki ilişkinin erken dönemlerden itibaren fark edilmiş olmasıdır. İnsanlar sayıları icat etmeden önce düzenleri gözlemlemişlerdir. Sayılar bu düzenleri görünür ve ifade edilebilir hâle getiren araçlar olarak gelişmiştir.

Bu noktada geometri ile sayı arasındaki ilişki yeniden önem kazanmaktadır. Bir önceki çalışmada matematiksel kavrayışın gerçek cisimden geometrik temsile doğru ilerlediğini görmüştük. Sayı da bu geometrik temsilin ölçülmeye başlanmasıyla ortaya çıkmaktadır. Bir ağacın yüksekliği, bir odanın genişliği, bir yolun uzunluğu veya bir tarlanın alanı önce geometrik olarak kavranmakta, ardından sayılarla ifade edilmektedir.

Sayıların tarihsel kökeninde ölçme faaliyetinin bulunması tesadüf değildir. Antik uygarlıkların matematiksel gelişimi incelendiğinde ölçüm ihtiyacının merkezi bir rol oynadığı görülmektedir. Arazi sınırlarının belirlenmesi, yapıların inşası, ticari kayıtların tutulması ve astronomik gözlemler sayı kavramının gelişmesine katkıda bulunmuştur. ⁴

Burada önemli bir epistemolojik sonuç ortaya çıkmaktadır. Sayı geometrik ilişkilerden tamamen bağımsız düşünülemez. Çünkü sayı başlangıçta geometrik olarak kavranan düzenlerin ölçülebilir hâle getirilmesinden doğmuştur. Modern matematik eğitiminin önemli bir kısmı bu tarihsel ve bilişsel bağı görünmez hâle getirmektedir.

Öğrenci sayıları soyut semboller olarak öğrenmekte, onların hangi gerçeklik ilişkilerine karşılık geldiğini daha sonra anlamaya çalışmaktadır. Bu durum aritmetiğin zihinde bağımsız bir alan gibi görünmesine yol açmaktadır. Oysa aritmetik, geometrik olarak kavranmış ilişkilerin nicelik diline çevrilmesidir.

İmmanuel Kant’ın matematik anlayışı bu konuda dikkat çekici bir katkı sunmaktadır. Kant’a göre matematiksel bilgi insan zihninin uzay ve zaman içindeki sezgileri üzerine kurulmaktadır. Geometri uzayın, aritmetik ise zaman içinde art arda gelen birimlerin kavranmasına dayanmaktadır.⁵ Kant’ın bu yaklaşımı modern bilişsel bilim tarafından bütünüyle kabul edilmese de matematiksel düşüncenin duyusal deneyimlerden tamamen kopuk olmadığını göstermesi bakımından önemlidir. İnsan zihni boşlukta matematik üretmez; deneyim dünyası içinde matematiksel ilişkiler kurar.

20. yüzyılın sonlarında George Lakoff ve Rafael Núñez tarafından geliştirilen bilişsel matematik yaklaşımı da benzer sonuçlara ulaşmaktadır. Onlara göre matematiksel kavramlar insan bedeninin dünya içindeki deneyimlerinden bağımsız değildir. İnsan yukarı-aşağı, yakın-uzak, iç-dış, büyük-küçük gibi temel deneyimlerden hareket ederek daha karmaşık matematiksel yapılar geliştirmektedir.⁶ Bu görüş sayı kavramının kökenini anlamak açısından önemlidir. Çünkü sayı, insanın dünyayla kurduğu ilişkinin soyutlaşmış bir biçimi olarak ortaya çıkmaktadır.

Sayıların ortaya çıkış sürecinde ölçme faaliyetinin özel bir yeri bulunmaktadır. Ölçme, belirli bir özelliğin tekrar eden bir birim aracılığıyla ifade edilmesidir. Bir masanın uzunluğunu ölçerken belirli bir birim kullanılmaktadır. Bir tarlanın alanı hesaplanırken yine belirli ölçü sistemlerine başvurulmaktadır. Ölçme sayesinde geometrik olarak kavranan ilişkiler sayısal karşılıklar kazanmaktadır. Böylece insan zihni farklı nesneler arasında karşılaştırmalar yapabilmektedir. Bu karşılaştırmalar aritmetiğin temelini oluşturmaktadır.

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de aslında sayıların kendisinden önce gelen ilişkilerin devamıdır. 2 nehrin birleşmesi toplamanın, bir ağacın dallara ayrılması bölmenin, belirli bir düzen içinde çoğalan organizmalar çarpmanın doğal karşılıklarını taşımaktadır. İnsan zihni önce bu ilişkileri gözlemlemekte, daha sonra onları sayısal semboller aracılığıyla ifade etmektedir. Aritmetik böylece gerçeklikten bağımsız bir işlem alanı olmaktan çıkmakta, gerçeklik içinde gözlemlenen ilişkilerin dili hâline gelmektedir.

Bu nedenle sayıların ontolojisini anlamak matematik eğitimi açısından büyük önem taşımaktadır. Sayılar nesnelerin yerine geçen işaretler değildir. Sayılar nesneler arasındaki ilişkilerin ölçülebilir hâle gelmesidir. İnsan neyi saydığını kavradığında sayılar anlam kazanmaktadır. Kavrayış zayıfladığında ise sayı soyut bir sembole dönüşmektedir. Matematik eğitiminde yaşanan birçok güçlüğün arkasında bu kopuş bulunmaktadır. Öğrenci sayıları kullanabilmekte, işlemleri gerçekleştirebilmekte, fakat sayıların temsil ettiği ilişkileri görmekte zorlanmaktadır.

Matematiksel düşüncenin gelişimi incelendiğinde ortaya çıkan tablo açıktır. İnsan önce gerçekliği görmektedir. Gerçeklik geometrik kavrayışa dönüşmektedir. Geometrik kavrayış ölçülmektedir. Ölçülen ilişkiler sayı hâline gelmektedir. Sayılar arasındaki düzenli ilişkiler aritmetiği doğurmaktadır. Böylece matematik, gerçek cisimlerden başlayıp soyut kavramlara ulaşan uzun bir zihinsel yolculuk olarak ortaya çıkmaktadır. Sayının ontolojisi de bu yolculuğun merkezinde yer almaktadır.

(Devam edecek…)

^{¹ Jean Piaget, The Child's Conception of Number, London: Routledge & Kegan Paul, 1952, s. 18.
² Metafizik, Kitap M, 1080a.
³ Metafizik, Kitap A, 985b23.
⁴ Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, 1972, s. 7.
⁵ Saf Aklın Eleştirisi, Transandantal Estetik, A24/B39.
⁶ George Lakoff ve Rafael E. Núñez, Where Mathematics Comes From, s. 27.}

*Bu içerik serbest gazeteci veya konuk yazarlar tarafından hazırlanmıştır. Bu içerikte yer alan görüş ve ifadeler yazara aittir ve Independent Türkçe'nin editöryal politikasını yansıtmayabilir.